Phân tích khung & dàn 2D - Phương pháp độ cứng

Phân tích khung và dàn 2D tính những gì

Một kết cấu phẳng (2D) là một tập hợp các thanh thẳng nối với nhau tại các nút, được giữ bởi các gối và chịu tác dụng của tải trọng. Phân tích kết cấu tìm, cho bố trí đó: các phản lực gối, lực dọc trục, lực cắt và mô men uốn nội lực trong mỗi thanh, và hình dạng võng. Đây là công việc hằng ngày của kỹ thuật kết cấu - khung cổng, dầm liên tục, dàn và giằng đều được giải theo cách này.

Khác với một công thức dầm kín, một khung tổng quát không có một phương trình duy nhất: nó được giải bằng số với phương pháp độ cứng trực tiếp, phương pháp ma trận làm nền tảng cho mọi phần mềm phân tích thương mại.

Phương pháp độ cứng trực tiếp

Mỗi thanh liên hệ các lực tại hai đầu với các chuyển vị tại hai đầu qua một ma trận độ cứng phần tử. Viết trong trục cục bộ của thanh, một phần tử khung 2D (với độ cứng dọc trục $EA$, độ cứng uốn $EI$ và chiều dài $L$) có sáu bậc tự do - các chuyển vị $u, v$ và góc xoay $\theta$ tại mỗi đầu:

Mỗi thanh được xoay từ trục cục bộ của nó vào hệ tổng thể bằng một ma trận biến đổi $\mathbf{T}$, cho độ cứng phần tử tổng thể $\mathbf{k} = \mathbf{T}^{\mathsf T}\mathbf{k}_{\text{local}}\mathbf{T}$. Chồng các thanh tại các nút chung lắp ghép thành ma trận độ cứng tổng thể $\mathbf{K}$, và cân bằng của toàn kết cấu trở thành một hệ tuyến tính:

Ở đây $\mathbf{u}$ chứa mọi chuyển vị nút và $\mathbf{F}$ các lực nút tác dụng (tải phân bố trên thanh trước tiên được chuyển thành các lực nút ngàm tương đương). Các hàng và cột của các bậc tự do bị giữ được loại bỏ, hệ rút gọn được giải cho $\mathbf{u}$, rồi các phản lực và nội lực mỗi thanh được khôi phục bằng thế ngược.

Khung và dàn

Trong một khung, các nút là cứng: các thanh mang lực dọc trục, lực cắt và mô men uốn, và một mô men được truyền qua nút. Trong một dàn, các nút là khớp: mỗi thanh chỉ mang lực dọc trục (kéo hoặc nén), và các số hạng uốn của ma trận độ cứng được giải phóng. Trong Tool này, đánh dấu bất kỳ thanh nào là thanh dàn để khớp hai đầu của nó; bạn có thể tự do trộn các thanh khung và dàn trong một mô hình.

Gối và điều kiện biên

Các gối giữ các bậc tự do được chọn và do đó sinh ra phản lực. Một kết cấu phải được giữ chống lại cả ba chuyển động cứng (ngang, đứng và xoay) hoặc nó là một cơ cấu và không thể giải được.

Gối đàn hồi (lò xo) - nền Winkler

Một gối không nhất thiết phải cứng tuyệt đối. Một lò xo đàn hồimô hình hóa một độ cứng hữu hạn xuống đất - một móng trên đất, sức kháng ngang của một cọc, một gối tựa, hoặc ngàm khớp một phần. Mỗi lò xo tác dụng lên một bậc tự do và đẩy lại tỉ lệ với chuyển vị (một mô hình Winkler): lò xo đứng $k_v$ (kN/m) chống $v$, lò xo ngang $k_h$ (kN/m) chống $u$, và lò xo xoay $k_r$ (kNm/rad) chống $\theta$. Độ cứng lò xo đơn giản được cộng vào số hạng đường chéo của bậc tự do đó trong ma trận độ cứng tổng thể, và lực gối được khôi phục là

$R = k\,u$

trong đó $u$ là chuyển vị đã giải của bậc tự do đó. Thêm một lò xo vào một bậc tự do giải phóng bất kỳ giằng cứng nào ở đó (lò xo thay thế nó); khi $k \to \infty$ lò xo ứng xử như một gối cứng. Các lực lò xo được vẽ bằng một màu riêng sau khi giải để phân biệt với các phản lực cứng.

Tải trọng và nội lực thanh

Tải trọng được áp dụng hoặc tại các nút (một lực ngang $F_x$, lực đứng $F_y$, hoặc mô men $M$) hoặc dọc một thanh dưới dạng một tải phân bố đều $w$. Một tải phân bố được xử lý bằng cách tính các lực ngàm của thanh - với một UDL toàn chiều dài đây là các lực cắt đầu $wL/2$ và mô men đầu $wL^{2}/12$ - áp dụng giá trị ngược của chúng dưới dạng tải nút tương đương, và cộng các lực ngàm trở lại vào thanh sau khi giải.

Quy ước dấu

Lực dọc trục dương khi kéo. Mô men uốn dương khi võng xuống; biểu đồ mô men được vẽ dọc trục cục bộ của mỗi thanh. Phản lực là các lực mà gối tác dụng lên kết cấu (một phản lực hướng lên chống trọng lực là dương).

Các đại lượng và đơn vị mà Tool này dùng

Độ chính xác và giới hạn

Bộ giải là một phân tích đàn hồi tuyến tính bậc một, được kiểm chứng với các bài toán giáo trình - dầm đơn giản và công xôn, công xôn có chống, khung cổng và dàn đều tái hiện các phản lực, mô men và độ võng đã công bố. Hãy nhớ các giả thiết của nó:

• Đàn hồi tuyến tính, chuyển vị nhỏ - không có chảy dẻo, võng lớn hay hiệu ứng P-delta.
• Không kiểm tra mất ổn định - các thanh chịu nén không được kiểm tra mất ổn định; làm việc đó riêng.
• Trọng lượng bản thân không tự động - thêm nó dưới dạng UDL trên thanh nếu bạn cần.
• Cần giữ đầy đủ - một mô hình thiếu gối là một cơ cấu và trả về "không ổn định" thay vì một kết quả.

Trong các giới hạn này, nó là một cách chính xác, nhanh để có phản lực, nội lực và độ võng cho khung và dàn phẳng - và một bạn đồng hành tự nhiên với Tool tính dầm công thức kín cho các trường hợp tiêu chuẩn.