Phân tích phần tử hữu hạn 2D - Trường ứng suất & Khung

Tool giải bài toán gì

Đây là tool phần tử hữu hạn 2D tính ứng suất cho tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng. Tool chia lưới bằng phần tử tam giác biến dạng hằng, giải trường chuyển vị, rồi vẽ trường ứng suất thu được dưới dạng bản đồ màu - ứng suất von Mises, các ứng suất chính, hoặc từng thành phần riêng. Toàn bộ chạy trong trình duyệt, không cài đặt, không cần đăng nhập.

Ứng suất phẳng là lý tưởng hóa phù hợp khi tấm mỏng so với hai kích thước còn lại và chịu tải trong mặt phẳng của nó, nên ứng suất ngoài mặt phẳng xem như bằng không. Điều này bao gồm bản mã, bản đế, bụng dầm, bản nối và hầu hết chi tiết bản phẳng trong kết cấu thép.

Ứng suất von Mises trên bản đồ màu

Ứng suất von Mises gộp các thành phần ứng suất trong mặt phẳng thành một giá trị tương đương duy nhất, so sánh trực tiếp được với cường độ chảy - và đó là lý do nó là bản đồ mặc định khi kiểm tra một chi tiết bản có bị quá ứng suất hay không. Đây là đại lượng vô hướng, không có phương và không bao giờ âm; vùng đạt 250 N/mm2 von Mises trong thép S275 là đã chảy, bất kể trạng thái bên dưới là kéo, nén hay cắt.

Vì bỏ qua dấu, riêng bản đồ von Mises không cho biết vùng đó đang kéo hay nén. Chuyển sang chế độ ứng suất chính để xem điều đó. Việc này quan trọng với tấm chịu nén, nơi giá trị von Mises thấp vẫn có thể là bài toán mất ổn định mà phân tích ứng suất phẳng hoàn toàn không mô tả.

Đọc tập trung ứng suất

Giá trị đỉnh trên bản đồ là giá trị chi phối một chi tiết bản, và hầu như luôn nằm tại chỗ gián đoạn hình học - lỗ, góc lõm, khấc hoặc chỗ đổi bề rộng đột ngột. Bài mẫu tấm có lỗ tồn tại để minh họa điều này: ứng suất tại mép lỗ lớn gấp vài lần ứng suất trung bình trên tiết diện.

Lưới quá thô sẽ báo thiếu giá trị đỉnh, vì phần tử tam giác biến dạng hằng không mô tả được gradient dốc bên trong một phần tử. Nếu làm mịn lưới mà giá trị đỉnh vẫn tăng thì lưới chưa hội tụ. Tại góc lõm thực sự nhọn, ứng suất lý thuyết là vô hạn và giá trị sẽ tăng mãi - đó là bản chất của lý tưởng hóa chứ không phải lỗi tool, và cũng là lý do người ta vê góc.

Ví dụ tính toán - tấm công xôn, đối chiếu lý thuyết dầm

Bài mẫu tấm công xôn là tấm 2,0 m x 0,4 m, dày 10 mm, thép E = 210 GPa, ngàm dọc mép trái và chịu lực cắt 10 kN ở đầu tự do. Đây là số liệu mặc định của tool, nên bạn tái lập được mà không cần nhập gì.

Vì tấm là một công xôn cao, lý thuyết dầm cơ bản cho một phép kiểm tra độc lập với kết quả FEM:

Mô men quán tính, t H^3 / 12

5,333e-5 m4

Mô men tại ngàm, P L

10 x 2,0 = 20,0 kNm

Ứng suất uốn tại ngàm, M c / I

75,0 N/mm2

Độ võng đầu tự do, P L^3 / 3EI

2,38 mm

Tỉ số nhịp trên chiều cao

5,0

Bản đồ FEM sẽ cho phân bố ứng suất uốn tại mép ngàm đạt đỉnh khoảng 75 N/mm2 ở thớ trên và thớ dưới, và bằng không tại giữa chiều cao. Hãy chờ đợi giá trị FEM lệch vài phần trăm, và FEM là giá trị chính xác hơn trong hai: với tỉ số nhịp trên chiều cao chỉ bằng 5 thì đây là công xôn cao, biến dạng do lực cắt đáng kể, còn lý thuyết dầm bỏ qua nó nên báo thiếu độ võng. Chênh lệch vài phần trăm là kết quả mong đợi; sai khác lớn nghĩa là một điều kiện biên bị đặt sai.

Chạy phép đối chiếu đó trên bài toán tự giải tay được là thói quen hữu ích nhất với bất kỳ tool FEM nào. Nó bắt được đúng những lỗi nguy hiểm - sai đơn vị, sai liên kết, đặt lực sai phương - vốn cho ra bản đồ trông hợp lý chứ không báo lỗi rõ ràng.

Ví dụ tính toán - tấm có lỗ

Bài mẫu thứ hai là tấm vuông 1,0 m, dày 10 mm, lỗ tròn giữa bán kính 0,15 m, chịu kéo một trục 50 kN. Phép kiểm tra tay ở đây là hệ số tập trung ứng suất:

Đường kính lỗ trên bề rộng tấm, 2r / W

0,30

Ứng suất tiết diện nguyên, P / (W t)

5,00 N/mm2

Ứng suất tiết diện thực, P / ((W - 2r) t)

7,14 N/mm2

Kt trên tiết diện thực (Peterson, bề rộng hữu hạn)

2,35

Ứng suất đỉnh dự kiến tại mép lỗ

16,8 N/mm2

Giá trị kinh điển Kt = 3,0 áp dụng cho lỗ tròn trong tấm vô hạn, quy về ứng suất tiết diện nguyên. Tấm này không vô hạn - lỗ chiếm 30 phần trăm bề rộng - nên hệ số cho bề rộng hữu hạn quy về tiết diện thực khoảng 2,35, tương ứng khoảng 3,4 nếu quy về tiết diện nguyên. Giá trị von Mises đỉnh trên bản đồ sẽ vào khoảng 17 N/mm2 tại hai bên lỗ, trên trục vuông góc với phương tải, còn phía trên và phía dưới lỗ hơi chuyển sang nén.

Tra công thức

Von Mises, ứng suất phẳng

$\sigma_{vm} = \sqrt{\sigma_x^{2} - \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^{2} + 3\tau_{xy}^{2}}$

Ứng suất chính

$\sigma_{1,2} = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^{2}}$

Ứng suất tiếp lớn nhất

$\tau_{\max} = \dfrac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}$

Quan hệ ứng suất - biến dạng phẳng

$\sigma = \dfrac{E}{1-\nu^{2}}\,\bigl[\varepsilon\bigr]$

Tập trung ứng suất

$\sigma_{\max} = K_t\,\sigma_{nom}$

Trang lý thuyết dẫn giải công thức phần tử tam giác biến dạng hằng và cho biết từng biểu thức đến từ đâu.

Giả thiết và giới hạn

Phân tích theo ứng suất phẳng đàn hồi tuyến tính: vật liệu nằm trên đoạn đàn hồi, không chảy dẻo và không phân phối lại nội lực, chuyển vị nhỏ, ứng suất ngoài mặt phẳng bằng không. Giá trị von Mises đỉnh vượt cường độ chảy cho biết tấm sẽ chảy cục bộ - không có nghĩa tấm bị phá hoại, vì thép dẻo phân phối lại quanh điểm đỉnh cục bộ, điều mà phân tích này không mô tả được.

Không mô hình mất ổn định. Tấm chịu nén có thể hoàn toàn an toàn về ứng suất mà vẫn mất ổn định ra ngoài mặt phẳng, và phân tích ứng suất phẳng về bản chất không nhìn thấy điều đó. Mọi hiệu ứng ngoài mặt phẳng cũng vậy: uốn theo chiều dày, độ cứng uốn của tấm và mọi hiệu ứng ba chiều đều nằm ngoài phạm vi.

Kết quả phụ thuộc lưới. Giá trị đỉnh tại chỗ gián đoạn nhạy với lưới và luôn bị báo thiếu khi lưới thô, còn tại góc nhọn theo nghĩa toán học thì không hội tụ. Mỏi, phá hủy giòn và ứng suất dư do hàn hoặc cắt không được kể đến.

Câu hỏi thường gặp (FAQ)