Làm thế nào để tính độ võng của dầm?

Độ võng của dầm phụ thuộc vào tải trọng, nhịp, điều kiện gối và độ cứng dầm EI (mô đun đàn hồi E nhân mô men quán tính bậc hai I). Với các trường hợp tiêu chuẩn có các công thức kín: dầm đơn giản dưới tải phân bố đều w võng 5wL⁴/384EI tại giữa nhịp, còn công xôn dưới tải tập trung đầu mút P võng PL³/3EI tại đầu mút. Tool này tự động áp dụng đúng công thức cho từng trường hợp dầm và cũng cho độ võng tại bất kỳ vị trí nào dọc nhịp.

Khác nhau giữa biểu đồ lực cắt (SFD) và biểu đồ mô men uốn (BMD) là gì?

Biểu đồ lực cắt (SFD) vẽ lực cắt nội lực dọc dầm - lực ngang tổng trên tiết diện - còn biểu đồ mô men uốn (BMD) vẽ mô men uốn nội lực, thứ làm dầm bị uốn. Chúng liên hệ với nhau: độ dốc của biểu đồ mô men uốn tại mỗi điểm bằng lực cắt tại đó, và mô men uốn đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại nơi lực cắt đi qua không. Tool này vẽ cả hai biểu đồ cho mọi trường hợp dầm.

Mô men uốn lớn nhất trong dầm đơn giản nằm ở đâu?

Với dầm đơn giản dưới tải phân bố đều, mô men uốn lớn nhất ở giữa nhịp và bằng wL²/8. Với một tải tập trung giữa nhịp, nó cũng ở giữa nhịp và bằng PL/4. Với một tải tập trung lệch tâm tại khoảng cách a từ một gối (với b = L − a), mô men lớn nhất xảy ra dưới tải và bằng Pab/L. Nói chung mô men lớn nhất ở nơi lực cắt đổi dấu.

Mô men uốn lớn nhất trong dầm công xôn là bao nhiêu?

Một công xôn mang mô men uốn lớn nhất tại gối ngàm (tường), không phải tại đầu tự do. Dưới tải phân bố đều w nó bằng wL²/2; dưới tải tập trung đầu mút P nó bằng PL; dưới mô men đầu mút M₀ mô men không đổi và bằng M₀. Mô men là vồng lên (kéo ở thớ trên), điều mà Tool này hiển thị là giá trị âm.

Khác nhau giữa dầm ngàm và dầm đơn giản là gì?

Một dầm đơn giản tựa trên gối cố định và gối di động, nên các gối mang phản lực thẳng đứng nhưng không có mô men - nó tĩnh định. Một dầm ngàm được kẹp cứng ở cả hai đầu, nên các gối cũng chống xoay và phát triển mô men ngàm - nó siêu tĩnh. Ngàm hai đầu giảm khoảng một nửa mô men giữa nhịp và giảm độ võng còn khoảng một phần năm giá trị của dầm đơn giản, nhưng đưa vào các mô men vồng tại gối.

Vì sao công xôn có chống là siêu tĩnh?

Một công xôn có chống ngàm ở đầu này và chống (gối di động) ở đầu kia, cho nhiều thành phần phản lực hơn ba phương trình cân bằng có thể giải. Phản lực dư được tìm từ một điều kiện tương thích - rằng độ võng tại chống bằng không. Với tải phân bố đều, điều này cho các phản lực 5wL/8 tại đầu ngàm và 3wL/8 tại chống, mô men gối −wL²/8, và mô men võng lớn nhất 9wL²/128.

Dầm cần thỏa mãn giới hạn độ võng nào?

Các giới hạn độ võng sử dụng thường là span/360 cho lớp hoàn thiện giòn dưới tải sử dụng, span/250 cho tổng tải, và span/200 cho công xôn, mặc dù tiêu chuẩn áp dụng và chỉ dẫn kỹ thuật dự án luôn ưu tiên. Tool này báo cáo độ võng đàn hồi bằng milimet để so sánh với giới hạn span/n liên quan cho thiết kế của bạn.

English

Lý thuyết phân tích dầm - Lực cắt, mô men và độ võng

Lý thuyết đằng sau Tool tính dầm này: cách suy ra phản lực gối, lực cắt, mô men uốn và độ võng cho các loại dầm tiêu chuẩn - dầm đơn giản, công xôn, ngàm hai đầu, công xôn có chống, dầm thừa và dầm liên tục - cùng các công thức kín cho từng loại.

📐Mở Tool tính dầm tương tác→

Dầm là một cấu kiện chịu lực mang tải trọng ngang chủ yếu bằng uốn. Phân tích một dầm là tìm bốn đại lượng: phản lực gối, lực cắt nội lực $V(x)$ , mô men uốn nội lực $M(x)$ , và độ võng $\delta(x)$ . Tài liệu này suy ra cả bốn đại lượng cho các dầm tiêu chuẩn trong giáo trình - dầm đơn giản, công xôn, ngàm hai đầu, công xôn có chống, dầm thừa và dầm liên tục - dưới tải tập trung, tải phân bố đều (UDL), tải tam giác (biến thiên tuyến tính) và mô men tác dụng, cùng công thức kín cho từng trường hợp. Đây chính là các kết quả mà Tool tính toán.

Quy ước dấu và các đại lượng

Quy ước dấu nhất quán là thiết yếu để đọc đúng các biểu đồ. Xuyên suốt Tool này:

Tải trọng - tải tập trung hướng xuống $P$ (kN) và tải phân bố $w$ (kN/m) là dương.
Lực cắt $V(x)$ (kN) - tổng đại số các lực ngang bên trái tiết diện. Lực cắt dương có xu hướng đẩy phần trái lên so với phần phải.
Mô men uốn $M(x)$ (kN·m) - dương khi võng xuống (cong lên, kéo ở thớ dưới) và âm khi vồng lên (cong xuống, kéo ở thớ trên). Mô men tại gối ngàm là vồng lên, nên in ra giá trị âm.
Độ võng $\delta(x)$ (mm) - hướng xuống là dương. Góc xoay $\theta = d\delta/dx$ tính bằng radian.
Độ cứng chống uốn $EI$ - mô đun đàn hồi $E$ nhân mô men quán tính bậc hai $I$ . Đó là độ cứng uốn của dầm; độ võng tỉ lệ nghịch với nó.

Quan hệ tải trọng–lực cắt–mô men–độ võng

Lực cắt, mô men và độ võng liên hệ với nhau qua các quan hệ vi phân làm nền tảng cho mọi biểu đồ dầm. Xuất phát từ cường độ tải phân bố $w(x)$ hướng xuống:

\frac{dV}{dx} = -w(x), \qquad \frac{dM}{dx} = V(x), \qquad EI\,\frac{d^{2}\delta}{dx^{2}} = M(x)

Ba hệ quả trực tiếp sau cho phép bạn phác họa bất kỳ biểu đồ nào bằng tay:

Mô men uốn đạt cực đại hoặc cực tiểu chính xác tại nơi lực cắt bằng không (vì $dM/dx = V = 0$ ). Đây là quy tắc hữu ích nhất để định vị $M_{\max}$ .
Trên một đoạn không tải, lực cắt không đổi và mô men biến thiên tuyến tính; dưới UDL, lực cắt biến thiên tuyến tính và mô men là parabol; dưới tải tam giác, mô men là bậc ba.
Một tải tập trung gây bước nhảy trong biểu đồ lực cắt; một mô men tác dụng gây bước nhảy trong biểu đồ mô men.

Độ võng nhận được bằng cách tích phân $M(x)/EI$ hai lần (phương pháp tích phân kép) và áp dụng điều kiện biên - độ võng bằng không tại gối, góc xoay bằng không tại ngàm. Với các dầm siêu tĩnh (ngàm hai đầu, công xôn có chống, liên tục), các phản lực dư trước tiên được tìm từ điều kiện tương thích - thường là độ võng hoặc góc xoay bằng không tại một gối dư - bằng các phương pháp như định lý ba mô men, phương pháp diện tích mô men hoặc phương pháp tải đơn vị.

Dầm tĩnh định và siêu tĩnh

Một dầm là tĩnh định khi các phản lực có thể tìm được chỉ từ ba phương trình cân bằng phẳng ( $\sum F_x = 0,\ \sum F_y = 0,\ \sum M = 0$ ) - bao gồm dầm đơn giản, công xôn và dầm thừa. Nó là siêu tĩnh khi có nhiều thành phần phản lực hơn số phương trình cân bằng - dầm ngàm hai đầu (dư hai), công xôn có chống (dư một) và dầm liên tục. Các ẩn dư (các phản lực dư) cần điều kiện tương thích biến dạng để giải. Dầm siêu tĩnh cứng hơn và phân phối mô men về các gối, thường giúp chúng tiết kiệm vật liệu hơn dầm tĩnh định.

Dầm đơn giản

Một dầm đơn giản tựa trên một gối cố định ở đầu này và một gối di động ở đầu kia trên nhịp $L$ . Nó tĩnh định. Nó phát triển mô men võng xuống đạt đỉnh tại nơi lực cắt bằng không và có độ võng lớn nhất trong các bố trí một nhịp thông dụng, nên độ võng thường chi phối thiết kế. Các kết quả chính:

Trường hợp tải	Phản lực	Mô men uốn lớn nhất	Độ võng lớn nhất
Tải tập trung P giữa nhịp	$R_A = R_B = \tfrac{P}{2}$	$M_{\max} = \tfrac{PL}{4}$	$\delta_{\max} = \tfrac{PL^{3}}{48EI}$
Tải P tại a (b = L−a)	$R_A = \tfrac{Pb}{L},\ R_B = \tfrac{Pa}{L}$	$M_{\max} = \tfrac{Pab}{L}$	$\text{dưới tải, bằng tích phân}$
UDL w trên nhịp	$R_A = R_B = \tfrac{wL}{2}$	$M_{\max} = \tfrac{wL^{2}}{8}$	$\delta_{\max} = \tfrac{5wL^{4}}{384EI}$
Tải tam giác (0 → w₀)	$R_A = \tfrac{w_0 L}{6},\ R_B = \tfrac{w_0 L}{3}$	$M_{\max} = \tfrac{w_0 L^{2}}{9\sqrt3}$	$\approx 0.00652\tfrac{w_0 L^{4}}{EI}$
Mô men M₀ tại a	$R_A = \tfrac{M_0}{L},\ R_B = -\tfrac{M_0}{L}$	$M = \tfrac{M_0 a}{L}\ \text{(nhảy tại a)}$	$\text{bằng tích phân}$

Với trường hợp UDL, lực cắt biến thiên tuyến tính từ $+wL/2$ tại gối trái đến $-wL/2$ tại gối phải, cắt không tại giữa nhịp nơi mô men parabol đạt đỉnh $wL^{2}/8$ . Mô men lớn nhất do tải tam giác xảy ra tại $x = L/\sqrt3 \approx 0.577L$ , không phải giữa nhịp.

Dầm công xôn

Một công xôn ngàm ở đầu này và tự do ở đầu kia. Gối ngàm cung cấp cả phản lực thẳng đứng và phản lực mô men. Mô men uốn là vồng lên và lớn nhất tại đầu ngàm; độ võng lớn nhất tại đầu tự do. Công xôn tương đối mềm, nên độ võng đầu mút thường chi phối.

Trường hợp tải	Phản lực	Mô men uốn lớn nhất	Độ võng lớn nhất
Tải P tại đầu tự do	$R = P,\ M_A = -PL$	$M_{\max} = PL\ \text{(ngàm)}$	$\delta_{\max} = \tfrac{PL^{3}}{3EI}$
Tải P tại a	$R = P,\ M_A = -Pa$	$M_{\max} = Pa$	$\delta_{tip} = \tfrac{Pa^{2}}{6EI}(3L-a)$
UDL w trên chiều dài	$R = wL,\ M_A = -\tfrac{wL^{2}}{2}$	$M_{\max} = \tfrac{wL^{2}}{2}$	$\delta_{\max} = \tfrac{wL^{4}}{8EI}$
Tam giác (max w₀ tại ngàm)	$R = \tfrac{w_0 L}{2},\ M_A = -\tfrac{w_0 L^{2}}{6}$	$M_{\max} = \tfrac{w_0 L^{2}}{6}$	$\delta_{\max} = \tfrac{w_0 L^{4}}{30EI}$
Mô men M₀ tại đầu tự do	$M_A = M_0,\ V = 0$	$M = M_0\ \text{(không đổi)}$	$\delta_{\max} = \tfrac{M_0 L^{2}}{2EI}$

Dầm ngàm hai đầu

Một dầm ngàm hai đầu được kẹp cứng ở cả hai đầu, nên mỗi gối chống xoay và phát triển một mô men ngàm vồng lên. Nó siêu tĩnh bậc hai. Các mô men ngàm làm giảm mô men giữa nhịp và làm cứng dầm đáng kể - với tải phân bố đều, độ võng giữa chỉ bằng $wL^{4}/384EI$ , một phần năm giá trị của dầm đơn giản, và mô men đỉnh $wL^{2}/12$ (tại gối) bằng hai phần ba giá trị $wL^{2}/8$ của dầm đơn giản.

Trường hợp tải	Phản lực	Mô men uốn lớn nhất	Độ võng lớn nhất
Tải tập trung P giữa nhịp	$R_A = R_B = \tfrac{P}{2}$	$M_{end} = -\tfrac{PL}{8},\ M_{mid}=+\tfrac{PL}{8}$	$\delta_{\max} = \tfrac{PL^{3}}{192EI}$
Tải P tại a (b = L−a)	$R_A = \tfrac{Pb^{2}(3a+b)}{L^{3}}$	$M_A = -\tfrac{Pab^{2}}{L^{2}},\ M_B=-\tfrac{Pa^{2} b}{L^{2}}$	$\text{bằng tích phân}$
UDL w trên nhịp	$R_A = R_B = \tfrac{wL}{2}$	$M_{end} = -\tfrac{wL^{2}}{12},\ M_{mid}=+\tfrac{wL^{2}}{24}$	$\delta_{\max} = \tfrac{wL^{4}}{384EI}$

Công xôn có chống

Một công xôn có chống ngàm ở đầu này và chống đơn (gối di động) ở đầu kia - siêu tĩnh bậc một. Phản lực chống dư suy ra từ điều kiện tương thích rằng độ võng tại chống bằng không. Với tải phân bố đều, đầu ngàm nhận $5wL/8$ và chống nhận $3wL/8$ , mô men vồng tại đầu ngàm là $-wL^{2}/8$ , và mô men võng lớn nhất là $9wL^{2}/128$ tại $x = 5L/8$ tính từ đầu ngàm.

Trường hợp tải	Phản lực	Mô men uốn lớn nhất	Độ võng lớn nhất
UDL w trên nhịp	$R_A = \tfrac{5wL}{8},\ R_B = \tfrac{3wL}{8}$	$M_A = -\tfrac{wL^{2}}{8},\ M^+ = \tfrac{9wL^{2}}{128}$	$\delta_{\max} \approx \tfrac{wL^{4}}{185EI}$
Tải tập trung P giữa nhịp	$R_A = \tfrac{11P}{16},\ R_B = \tfrac{5P}{16}$	$M_A = -\tfrac{3PL}{16},\ M_{load}=\tfrac{5PL}{32}$	$\approx \tfrac{7PL^{3}}{768EI}$

Dầm thừa

Một dầm thừa là một nhịp đơn giản với một hoặc cả hai đầu công xôn vượt qua gối. Nó tĩnh định. Tải trên phần thừa gây ra mô men vồng tại gối, triệt tiêu một phần mô men võng trong nhịp - một bố trí hiệu quả có chủ đích dùng cho ban công, mái đua và nhịp dẫn cầu. Với phần thừa cân bằng, mô men dương và âm có thể làm gần bằng nhau, giảm thiểu giá trị đỉnh. Với một phần thừa $c$ mang UDL $w$ trên toàn chiều dài, mô men tại gối là $-wc^{2}/2$ ; một tải tập trung $P$ tại đầu mút cho $-Pc$ tại đó. Một phần thừa đủ dài có thể nâng gối xa thành nhổ lên (phản lực âm) - điều mà Tool này báo cáo.

Dầm liên tục

Một dầm liên tục chạy qua ba gối trở lên như một cấu kiện duy nhất. Nó siêu tĩnh, với một phản lực dư cho mỗi gối trung gian, giải kinh điển bằng định lý ba mô men (Clapeyron) hoặc phân phối mô men. Tính liên tục phát triển mô men vồng tại các gối trung gian, giảm nhẹ mô men nhịp, nên dầm liên tục cứng hơn và mang nhiều tải hơn loạt nhịp đơn giản tương đương. Với hai nhịp bằng nhau $L$ dưới tải phân bố đều, gối trung gian nhận $5wL/4$ , các gối đầu nhận $3wL/8$ mỗi gối, mô men vồng trên gối giữa là $-wL^{2}/8$ , và mô men võng lớn nhất trong nhịp là $9wL^{2}/128$ .

Trường hợp tải	Phản lực	Mô men uốn lớn nhất	Độ võng lớn nhất
Hai nhịp bằng nhau, UDL w	$R_A = R_C = \tfrac{3wL}{8},\ R_B = \tfrac{5wL}{4}$	$M_B = -\tfrac{wL^{2}}{8},\ M^+ = \tfrac{9wL^{2}}{128}$	$\text{(bằng tích phân)}$
Hai nhịp bằng nhau, P giữa mỗi nhịp	$R_A = R_C = \tfrac{5P}{16},\ R_B = \tfrac{11P}{8}$	$M_B = -\tfrac{3PL}{16},\ M_{span}=\tfrac{5PL}{32}$	$\text{(bằng tích phân)}$

Giới hạn độ võng - khả năng sử dụng

Ngoài cường độ, dầm được kiểm tra độ võng ở trạng thái giới hạn sử dụng để khống chế độ võng, nứt lớp hoàn thiện và sự thoải mái của người dùng. Các giới hạn span/ $n$ điển hình (tiêu chuẩn áp dụng và chỉ dẫn kỹ thuật dự án luôn ưu tiên) là:

Điều kiện	Giới hạn điển hình
Dầm có lớp hoàn thiện giòn (tải sử dụng)	$L/360$
Dầm thông thường (tổng tải)	$L/250$
Công xôn	$L/180$ đến $L/250$
Dầm đỡ máy móc / ốp nhạy cảm	$L/500$ hoặc chặt hơn

Tool báo cáo độ võng đàn hồi bằng milimet để so sánh trực tiếp với giới hạn span/ $n$ liên quan. Hãy nhớ độ võng tỉ lệ với $1/EI$ và với lũy thừa bốn của nhịp đối với tải phân bố - tăng gấp đôi nhịp làm độ võng UDL tăng mười sáu lần, đó là lý do dầm nhịp lớn bị độ võng chi phối.

Cách dùng Tool này

Chọn loại dầm và trường hợp tải ở bên trái, nhập nhịp, tải và độ cứng tiết diện $E$ (GPa) và $I$ (cm⁴), và Tool trả về các phản lực, lực cắt, mô men và độ võng lớn nhất cùng vị trí của chúng, giá trị $V$ , $M$ và $\delta$ tại bất kỳ vị trí nào bạn chọn, cùng biểu đồ lực cắt, mô men uốn và hình dạng võng. Di chuột lên bất kỳ biểu đồ nào để đọc giá trị tại điểm đó.

Đây là các kết quả đàn hồi tuyến tính tiêu chuẩn giả thiết $EI$ không đổi, độ võng nhỏ và vật liệu trong phạm vi đàn hồi. Chúng bỏ qua biến dạng cắt (lý thuyết Euler–Bernoulli), điều đủ chính xác cho dầm mảnh thông thường. Luôn thiết kế theo tiêu chuẩn áp dụng và chỉ dẫn kỹ thuật dự án.

Câu hỏi thường gặp

Sẵn sàng tính toán? Nhận phản lực, M, V và độ võng cùng biểu đồ lực cắt và mô men uốn cho dầm của bạn.

📐Mở Tool tính dầm tương tác→

Đánh giá

Chưa có đánh giá

Đăng nhập để tham gia thảo luận.

Đang tải…