Phương pháp phần tử hữu hạn 2D - Ứng suất phẳng & von Mises

Phương pháp phần tử hữu hạn làm gì trong 2D

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) biến một bài toán kết cấu không có công thức đơn giản thành một hệ phương trình tuyến tính lớn nhưng thường quy. Miền - một khung, một dàn, hoặc một tấm liên tục - được chia thành nhiều phần tử nhỏ nối với nhau tại các nút. Với mỗi phần tử, quan hệ giữa lực và chuyển vị tại các nút của nó được viết thành một ma trận độ cứng phần tử. Chúng được lắp ghép thành một ma trận độ cứng tổng thể $\mathbf{K}$, và cân bằng của toàn kết cấu được biểu diễn bằng một phương trình ma trận duy nhất:

trong đó $\mathbf{u}$ tập hợp các chuyển vị nút chưa biết và $\mathbf{F}$ các lực nút tác dụng. Sau khi áp đặt các gối (chuyển vị bằng không đã biết), hệ rút gọn được giải cho $\mathbf{u}$. Mọi thứ còn lại - phản lực, nội lực thanh, và trường ứng suất - được khôi phục từ các chuyển vị đó. Tool này bao quát hai họ phần tử 2D: tam giác ứng suất phẳng cho trường ứng suất của một tấm, và phần tử đường khung và dàn cho nội lực thanh.

Ứng suất phẳng - trường ứng suất của một tấm mỏng

Một tấm phẳng mỏng và chỉ chịu tải trong mặt phẳng của chính nó ở trạng thái ứng suất phẳng: ứng suất theo chiều dày được lấy bằng không, và vật liệu tự do co ngoài mặt phẳng. Ứng suất tại một điểm khi đó được mô tả bằng ba thành phần - hai ứng suất pháp và một ứng suất tiếp:

Với một vật liệu đàn hồi tuyến tính đẳng hướng có mô đun đàn hồi $E$ và hệ số Poisson $\nu$, ứng suất và biến dạng liên hệ qua ma trận cấu thành (đàn hồi) ứng suất phẳng $\mathbf{D}$:

Ứng suất phẳng phù hợp cho tấm mỏng, bản mã và bản đế, gối đỡ, dầm cao và tấm có lỗ. Với một vật thể dày bị giằng theo phương thứ ba, biến dạng phẳng phù hợp hơn (nó dùng một $\mathbf{D}$ hơi khác).

Phần tử tam giác biến dạng hằng (CST)

Tool này chia lưới tấm thành các tam giác ba nút. Với nội suy chuyển vị tuyến tính trên một tam giác, biến dạng - và do đó ứng suất - là hằng số trong mỗi phần tử, đó là lý do nó được gọi là tam giác biến dạng hằng. Mỗi nút có hai bậc tự do, $u$ và $v$, nên một phần tử có sáu.

Biến dạng phần tử nhận được từ các chuyển vị nút $\mathbf{u}_e$ qua ma trận biến dạng–chuyển vị $\mathbf{B}$ (hằng số, xây từ tọa độ nút và diện tích tam giác $A$), và độ cứng phần tử suy ra từ tích phân công ảo, mà với $\mathbf{B}$ hằng và chiều dày $t$ rút gọn thành một tích đơn giản:

Sau khi giải tổng thể, ứng suất trong mỗi tam giác được khôi phục trực tiếp:

Vì ứng suất CST là hằng từng đoạn, Tool lấy trung bình các ứng suất phần tử xung quanh tại mỗi nút (theo trọng số diện tích) để tạo một đường đồng mức mượt, liên tục. CST mạnh mẽ và dễ kiểm chứng nhưng tương đối cứng, nên làm mịn lưới cải thiện độ chính xác - đặc biệt gần góc và lỗ nơi ứng suất thay đổi nhanh.

Ứng suất von Mises và ứng suất chính

Để đánh giá vật liệu làm việc nặng đến đâu, ba thành phần ứng suất được kết hợp thành ứng suất von Mises - một đại lượng vô hướng duy nhất ánh xạ lên sự chảy dẻo của vật liệu dẻo. Khi nó đạt giới hạn chảy, chảy dẻo bắt đầu, đó là lý do nó là đại lượng tự nhiên để vẽ thành đường đồng mức:

Các ứng suất chính - các ứng suất pháp cực trị, trên các mặt phẳng nơi ứng suất tiếp triệt tiêu - cũng được báo cáo:

Tập trung ứng suất quanh một lỗ

Một lỗ hoặc khía cắt ngắt dòng ứng suất và buộc nó đổi hướng, nâng ứng suất cục bộ lên cao hơn nhiều giá trị trung bình. Với một lỗ tròn nhỏ trong một tấm rộng chịu kéo một trục, lý thuyết đàn hồi kinh điển cho ứng suất đỉnh khoảng ba lần giá trị trường xa - một hệ số tập trung ứng suất $K_t \approx 3$. Mẫu tấm-có-lỗ tái hiện điều này: đường đồng mức von Mises đạt đỉnh ở hai bên lỗ, và làm mịn lưới làm sắc nét đỉnh.

Phần tử khung và dàn (phía nội lực thanh)

Cùng bộ máy $\mathbf{K}\mathbf{u}=\mathbf{F}$ giải các kết cấu dạng thanh. Một phần tử khung 2D có ba bậc tự do mỗi nút - $u$, $v$ và một góc xoay $\theta$ - và kết hợp độ cứng dọc trục với uốn Euler–Bernoulli. Ma trận độ cứng cục bộ của nó, cho độ cứng dọc trục $EA$, độ cứng uốn $EI$ và chiều dài $L$, là ma trận 6×6 tiêu chuẩn:

Mỗi phần tử được xoay từ trục cục bộ sang trục tổng thể bằng một phép biến đổi $\mathbf{k}_{\text{global}} = \mathbf{T}^{\mathsf T}\mathbf{k}_{\text{local}}\mathbf{T}$ trước khi lắp ghép. Một thanh dàn là trường hợp đặc biệt với các số hạng uốn được giải phóng, chỉ còn lại độ cứng dọc trục $EA/L$ - các thanh liên kết khớp chỉ mang lực dọc trục. Tải phân bố được áp dụng dưới dạng các lực nút tương đương (lực ngàm), và nội lực dọc trục, lực cắt và mô men uốn của thanh được khôi phục từ các chuyển vị đầu thanh đã giải.

Các đại lượng và đơn vị mà Tool này dùng

Độ chính xác, kiểm chứng và giới hạn

Bộ giải đã được kiểm tra với các bài toán có đáp án đã biết. Một kiểm tra patch kéo đều tái hiện một trường ứng suất hoàn toàn đều, xác nhận phần tử và lắp ghép là đúng. Một tấm công xôn mảnh khớp với lý thuyết dầm Euler–Bernoulli về độ võng đầu mút trong khoảng một phần trăm ở lưới vừa phải, và ứng suất uốn hội tụ về giá trị lý thuyết $My/I$ khi lưới được làm mịn. Bộ giải khung tái hiện các phản lực và mô men trong giáo trình cho các bài toán dầm đơn giản, công xôn, công xôn có chống, khung cổng và dàn.

Như với bất kỳ FEM tuyến tính nào, hãy nhớ các giả thiết:

• Đàn hồi tuyến tính - không có chảy dẻo; ứng suất có thể vượt giới hạn chảy trong mô hình, điều này chỉ đơn giản cho biết chảy dẻo sẽ xảy ra.
• Bậc một (chuyển vị nhỏ) - không có hiệu ứng võng lớn hay P-delta, và không có mất ổn định.
• Phụ thuộc lưới - lưới thô đánh giá thấp ứng suất đỉnh; làm mịn gần lỗ, khía cắt và góc lõm và kiểm tra rằng kết quả đã ổn định.
• Điểm kỳ dị - ứng suất tại một góc lõm sắc hoặc một tải tập trung tăng vô hạn khi lưới được làm mịn; xử lý các đỉnh đó bằng phán đoán kỹ thuật.

Dùng trong các giới hạn này, FEM 2D là một cách tuyệt vời để thấy nơi một cấu kiện chịu ứng suất lớn nhất và cách một kết cấu biến dạng - bổ sung cho các kiểm tra công thức kín ở phần còn lại của bộ Tool.