CivilAxisCivilAxis
/Tools › Moment of Inertia
☕ Ủng hộ🌐 Cộng đồng
English

Mô men quán tính, mô đun chống uốn & mô men cực - Lý thuyết

Lý thuyết đằng sau Tool này: ý nghĩa của mô men quán tính mặt cắt (I), mô đun chống uốn đàn hồi (W), mô men quán tính cực (Iₚ) và bán kính quán tính (i), cách dùng trọng tâm và định lý trục song song, cùng các công thức kín tiêu chuẩn cho các tiết diện thường gặp.

📐Mở Tool tính mô men quán tính tương tác→

Chạy phương pháp này trong công cụ miễn phí và xuất kết quả ra Excel (.xlsx) hoặc PDF.

Mô men quán tính của tiết diện là gì?

Mô men quán tính mặt cắt (mô men bậc hai của diện tích) là đặc trưng hình học của tiết diện, mô tả cách diện tích phân bố quanh một trục. Nó quyết định độ cứng và độ bền chống uốn của dầm hay cột: vật liệu càng xa trục uốn thì mô men quán tính càng lớn và tiết diện càng chống uốn tốt. Đơn vị là chiều dài mũ bốn (mm⁴, cm⁴, in⁴). Với phần tử diện tích dA cách trục một khoảng z:

Iy=∫z2 dA,Iz=∫y2 dAI_y = \int z^{2} \, dA, \qquad I_z = \int y^{2} \, dA
yzCc
Centroid C, major axis y-y, minor axis z-z, extreme-fibre distance c

Các đặc trưng luôn được tính quanh trục trọng tâm - trục đi qua trọng tâm của diện tích. Theo Eurocode 3 (EN 1993), trục chính (trục khỏe) ký hiệu y-yy\text{-}y và trục phụ (trục yếu) là z-zz\text{-}z. Uốn quanh trục chính cho độ võng nhỏ nhất với một tải trọng cho trước.

Mô đun chống uốn và ứng suất uốn

Mô đun chống uốn đàn hồi WW biến mô men quán tính thành thước đo độ bền. Đó là mô men quán tính chia khoảng cách cc từ trọng tâm tới thớ biên:

W=Ic,σ=MW=M cIW = \dfrac{I}{c}, \qquad \sigma = \dfrac{M}{W} = \dfrac{M\,c}{I}

Ứng suất uốn σ\sigma lớn nhất ở thớ xa trọng tâm nhất. Với tiết diện không đối xứng (chữ T, chữ U), thớ trên và dưới cách trọng tâm khác nhau nên mô đun - và ứng suất đỉnh - khác nhau ở trên và dưới. Tool báo mô đun cho cả bốn thớ biên.

Mô men quán tính cực

Mô men cực của diện tích IpI_p đo khả năng chống xoắn quanh trục dọc. Theo định lý trục vuông góc, nó bằng tổng hai giá trị trong mặt phẳng:

Ip=Iy+IzI_p = I_y + I_z

Với hình tròn đặc, Ip=πd4/32I_p = \pi d^{4}/32. Lưu ý với tiết diện không tròn, hằng số xoắn St. Venant J\,J (xuất hiện trong độ cứng xoắn GJGJ) không bằng IpI_p; mô men cực báo ở đây chỉ chính xác với tiết diện tròn.

Bán kính quán tính

Bán kính quán tính là khoảng cách từ trục mà tại đó toàn bộ diện tích có thể tập trung để cho cùng mô men quán tính. Nó cốt yếu trong mất ổn định cột - độ mảnh bằng chiều dài tính toán chia bán kính quán tính, và mất ổn định xảy ra quanh trục yếu hơn (ii nhỏ hơn).

iy=IyA,iz=IzAi_y = \sqrt{\dfrac{I_y}{A}}, \qquad i_z = \sqrt{\dfrac{I_z}{A}}

Định lý trục song song

Tiết diện ghép (chữ I, chữ U, chữ T) được chia thành các hình chữ nhật đơn giản. Mô men quán tính của mỗi hình trước hết tính quanh trọng tâm riêng, rồi chuyển về trọng tâm chung bằng định lý trục song song:

I=Ic+A d2I = I_c + A\,d^{2}
ref. axisCd
I = I_c + A d² - the area shifted a distance d from the reference axis
trong đó
IcI_cmô men quán tính của phần quanh trọng tâm riêng của nóAAdiện tích của phầnddkhoảng cách giữa trọng tâm phần và trọng tâm chung của tiết diện

Quy trình xác định trọng tâm chung trước, là trung bình diện tích của các trọng tâm phần, rồi áp dụng độ dời cho từng phần và cộng lại. Chính số hạng chuyển trục A d2A\,d^{2} giải thích vì sao tiết diện chữ I cao lại cứng hơn nhiều so với thanh đặc cùng diện tích: cánh nằm xa trục trung hòa nên dd - và đóng góp của nó - lớn, trong khi tiết diện đặc mập giữ toàn bộ vật liệu gần trọng tâm nơi nó ít phát huy tác dụng.

Công thức tiêu chuẩn

Với các hình đặc thường gặp, công thức kín (quanh trục trọng tâm chính) là:

HìnhDiện tích AMô men quán tính IMô đun chống uốn W
Chữ nhật (b × h)b hb\,hb h312\dfrac{b\,h^{3}}{12}b h26\dfrac{b\,h^{2}}{6}
Tròn đặc (d)πd24\dfrac{\pi d^{2}}{4}πd464\dfrac{\pi d^{4}}{64}πd332\dfrac{\pi d^{3}}{32}
Tròn rỗng (d, dᵢ)π(d2−di2)4\dfrac{\pi (d^{2}-d_i^{2})}{4}π(d4−di4)64\dfrac{\pi (d^{4}-d_i^{4})}{64}π(d4−di4)32 d\dfrac{\pi (d^{4}-d_i^{4})}{32\,d}
Chữ I / cánh rộng (b, h, tf, tw)2 b tf+twhw2\,b\,t_f + t_w h_wb h3−(b−tw)hw312\dfrac{b\,h^{3}-(b-t_w)h_w^{3}}{12}2Ih\dfrac{2I}{h}
Chữ T (b, h, tf, tw)b tf+twhwb\,t_f + t_w h_w∑(Ic,i+Aidi2)\textstyle\sum (I_{c,i}+A_i d_i^{2})Icb\dfrac{I}{c_b}
Tam giác (b × h)b h2\dfrac{b\,h}{2}b h336\dfrac{b\,h^{3}}{36}b h224\dfrac{b\,h^{2}}{24}

Tiết diện chữ I (dầm cánh rộng)

Tiết diện chữ I là chủ lực trong kết cấu thép. Vì đối xứng kép, trọng tâm nằm ở giữa chiều cao, và cách đơn giản nhất để tìm mô men quán tính trục chính là phương pháp "hình chữ nhật đầy đủ trừ hai khoảng trống hai bên": lấy hình chữ nhật đặc b×hb \times h rồi trừ hai khoảng trống hai bên bụng, mỗi khoảng rộng (b−tw)/2\,(b-t_w)/2 và cao hw=h−2tfh_w = h - 2t_f:

Iy=b h3−(b−tw) hw312,Iz=2 tf b3+hw tw312I_y = \dfrac{b\,h^{3} - (b - t_w)\,h_w^{3}}{12}, \qquad I_z = \dfrac{2\,t_f\,b^{3} + h_w\,t_w^{3}}{12}

Giá trị trục phụ IzI_z chủ yếu do hai cánh (số hạng b3b^{3}). Mô đun chống uốn suy ra Wy=2Iy/h\,W_y = 2I_y/h và Wz=2Iz/bW_z = 2I_z/b. Tiết diện cán thực còn có bán kính lượn chânở chỗ nối bụng–cánh; Tool thêm phần vật liệu này khi bạn nhập bán kính rr khác 0, làm tăng nhẹ diện tích và mô men quán tính.

Tiết diện chữ T

Chữ T đối xứng đơn nên - khác chữ I - trọng tâm không ở giữa chiều cao: nó nằm gần cánh hơn. Phải xác định trọng tâm trước, là trung bình diện tích của cánh và bụng, rồi áp dụng định lý trục song song cho từng phần:

zˉ=Afzf+AwzwAf+Aw,Iy=∑(Ic,i+Ai di2)\bar{z} = \dfrac{A_f z_f + A_w z_w}{A_f + A_w}, \qquad I_y = \sum \left( I_{c,i} + A_i\,d_i^{2} \right)

Vì trọng tâm lệch tâm, thớ trên và dưới cách trọng tâm khác nhau, nên chữ T có hai mô đun chống uốn khác nhau - Wy,top=Iy/ct\,W_{y,top} = I_y/c_t và Wy,bot=Iy/cbW_{y,bot} = I_y/c_b - và chịu ứng suất đỉnh khác nhau ở trên và dưới. Tool báo cả hai.

Nhập kích thước vào Tool để xem mọi đặc trưng - diện tích, trọng tâm, IyI_y, IzI_z, Ip\,I_p, mô đun chống uốn, bán kính quán tính và mô đun dẻo - kèm sơ đồ trực quan.

Tài liệu tham khảo

  • BS EN 1993-1-1:2005. Eurocode 3: Design of Steel Structures - Part 1-1: General Rules and Rules for Buildings. British Standards Institution.
  • BS EN 1993-1-5:2006. Eurocode 3: Design of Steel Structures - Part 1-5: Plated Structural Elements. British Standards Institution.
  • Steel Construction Institute (2015). SCI P363: Steel Building Design - Design Data (the Blue Book). SCI and BCSA.
  • Young, W.C. & Budynas, R.G. (2002). Roark Formulas for Stress and Strain. 7th edition, McGraw-Hill.

Câu hỏi thường gặp

Mô men quán tính mặt cắt (mô men bậc hai của diện tích) đo cách diện tích tiết diện phân bố quanh một trục. Với hình chữ nhật rộng b cao h, mô men quán tính quanh trục trọng tâm ngang là I = b·h³/12. Với hình tròn đặc đường kính d là I = π·d⁴/64. Với tiết diện ghép (chữ I, chữ U, chữ T) ta chia thành các hình chữ nhật rồi cộng từng phần bằng định lý trục song song quanh trọng tâm chung. Tool này thực hiện toàn bộ và báo I quanh cả hai trục chính.

Mô men quán tính I (đơn vị mm⁴) mô tả độ cứng chống uốn - xuất hiện trong độ võng và độ cong. Mô đun chống uốn đàn hồi W = I / c (đơn vị mm³), với c là khoảng cách từ trọng tâm đến thớ biên, mô tả độ bền: ứng suất uốn là σ = M / W, nên với một mô men cho trước, ứng suất lớn nhất ở thớ có W nhỏ nhất. Một tiết diện có thể có I lớn nhưng W nhỏ nếu vật liệu nằm xa một mặt. Tool báo cả hai, cho thớ trên, dưới, trái và phải.

Mô men quán tính cực Iₚ đo khả năng chống xoắn quanh trục dọc. Theo định lý trục vuông góc, nó bằng tổng hai mô men quán tính trong mặt phẳng: Iₚ = I_y + I_z. Với hình tròn đặc, Iₚ = π·d⁴/32. Lưu ý với tiết diện không tròn, hằng số xoắn thực J (dùng trong độ cứng xoắn GJ) khác Iₚ; Tool này báo mô men cực của diện tích Iₚ = I_y + I_z, chính xác cho tiết diện tròn.

Bán kính quán tính i = √(I / A) là khoảng cách từ trục mà tại đó toàn bộ diện tích có thể tập trung để cho cùng mô men quán tính. Nó dùng trong mất ổn định cột: độ mảnh bằng chiều dài tính toán chia bán kính quán tính (L / i), và mất ổn định xảy ra quanh trục có bán kính quán tính nhỏ hơn. Tool báo i quanh cả hai trục.

Định lý trục song song cho phép tìm mô men quán tính của diện tích quanh trục bất kỳ song song với trục trọng tâm: I = I_c + A·d², với I_c là mô men quán tính quanh trọng tâm riêng, A là diện tích và d là khoảng cách giữa hai trục. Nó thiết yếu với tiết diện ghép - mỗi hình chữ nhật tính quanh trọng tâm riêng rồi dời về trọng tâm chung trước khi cộng.

Trục chính (trục khỏe) là trục mà mô men quán tính lớn nhất - uốn quanh nó cho độ võng nhỏ nhất. Theo EN 1993 (Eurocode 3), trục chính ký hiệu y-y và trục phụ (trục yếu) là z-z. Với tiết diện chữ I uốn quanh y-y (phương cao), I_y lớn hơn nhiều I_z, đó là lý do dầm được đặt với bụng thẳng đứng. Tool ghi kết quả theo y-y (chính) và z-z (phụ).

Sẵn sàng tính toán? Nhận diện tích, trọng tâm, mô men quán tính, mô đun chống uốn, mô men cực và bán kính quán tính cho tiết diện của bạn, kèm sơ đồ trực quan.

📐Mở Tool tính mô men quán tính tương tác→
Đánh giá
Chưa có đánh giá
Đăng nhập để tham gia thảo luận.
Đang tải…