Thiết kế chịu cắt dầm bê tông cốt thép theo EC2

Phép kiểm tra này làm gì

Một dầm bị phá hoại do cắt theo hai cách, và Eurocode 2 buộc người thiết kế chứng minh rằng không cách nào xảy ra. Hoặc là cốt đai chảy dẻo và vết nứt xiên mở rộng cho tới khi tiết diện rã ra, hoặc là phần bê tông giữa hai vết nứt xiên bị nén vỡ bởi lực nén chạy dọc theo nó. Kiểu thứ nhất là phá hoại dẻo, có báo trước. Kiểu thứ hai xảy ra đột ngột. Vì vậy phép kiểm tra gồm hai bất đẳng thức, không phải một:

$$V_{Ed} \le V_{Rd,s} \quad , \quad V_{Ed} \le V_{Rd,max}$$

trong đó:

• $V_{Ed}$ - lực cắt tính toán tại tiết diện đang xét (kN)

• $V_{Rd,s}$ - khả năng chịu cắt do cốt đai chảy dẻo quyết định (kN)

• $V_{Rd,max}$ - khả năng chịu cắt do bê tông thanh chống bị nén vỡ quyết định (kN)

Điểm tinh tế mà nhiều người bỏ qua là hai giá trị này không độc lập. Cả hai đều là hàm của cùng một góc nghiêng thanh chống, và dịch chuyển góc đó để cải thiện đại lượng này sẽ làm xấu đại lượng kia.

Trước hết: có cần cốt đai không?

Trước khi dùng mô hình giàn ảo, EC2 §6.2.2 cho khả năng chịu cắt của cấu kiện không có cốt đai:

$$V_{Rd,c} = \left[ C_{Rd,c} \, k \, (100 \, \rho_l \, f_{ck})^{1/3} \right] b_w d$$

kèm một giá trị sàn áp dụng khi hàm lượng cốt dọc thấp:

$$v_{min} = 0.035 \, k^{3/2} \, f_{ck}^{1/2}$$

trong đó:

• $C_{Rd,c}$ - bằng $0.18/\gamma_c$, tức 0,12 với $\gamma_c = 1.5$ khuyến nghị

• $k$ - hệ số kích thước, $1 + \sqrt{200/d} \le 2.0$, với $d$ tính bằng mm

• $\rho_l$ - hàm lượng cốt dọc chịu kéo $A_{sl}/(b_w d) \le 0.02$

• $f_{ck}$ - cường độ chịu nén đặc trưng mẫu trụ (MPa)

• $b_w$ - bề rộng nhỏ nhất của sườn dầm (mm)

• $d$ - chiều cao làm việc (mm)

Hệ số kích thước $k$ là phần đáng hiểu rõ. Nó bị chặn ở 2,0, đạt được khi $d = 200$ mm, và giảm dần về 1,0 khi cấu kiện càng cao. Một dầm cao có khả năng chịu cắt trên một đơn vị diện tích thấp hơn dầm thấp cùng vật liệu và cùng hàm lượng cốt thép. Đây là hiệu ứng kích thước: cấu kiện lớn hơn có vết nứt rộng hơn ở cùng mức biến dạng, vết nứt rộng hơn thì truyền lực cài răng cốt liệu kém hơn, nên phần đóng góp của bê tông giảm. Đó là hiệu ứng có thật, đo được, không phải một khoản dự trữ an toàn tùy tiện.

Nếu $V_{Ed} \le V_{Rd,c}$ thì không cần tính cốt đai, tuy vậy dầm vẫn phải bố trí cốt đai tối thiểu.

Mô hình giàn ảo, và vì sao góc nghiêng được tự do chọn

Khi đã cần cốt đai, phần đóng góp của bê tông bị bỏ hoàn toàn. Điều này gây bất ngờ cho những người quen tiêu chuẩn cũ: EC2 không cộng $V_{Rd,c}$ vào khả năng chịu cắt của cốt đai. Giàn ảo gánh toàn bộ.

Mô hình là một giàn phẳng. Thanh cánh chịu kéo là cốt thép dọc, thanh cánh chịu nén là vùng bê tông chịu nén do uốn, thanh đứng là cốt đai, và các thanh xiên là những thanh chống bê tông nghiêng một góc $\theta$ so với trục dầm. Viết phương trình cân bằng theo phương đứng của giàn cho:

$$V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s} \, z \, f_{ywd} \cot\theta$$

trong đó:

• $A_{sw}$ - diện tích tiết diện cốt đai trong một lớp đai (mm²)

• $s$ - khoảng cách các lớp đai dọc theo cấu kiện (mm)

• $z$ - cánh tay đòn nội lực, lấy $0.9d$ với cấu kiện không chịu lực dọc (mm)

• $f_{ywd}$ - cường độ chảy tính toán của cốt đai (MPa)

• $\theta$ - góc giữa thanh chống bê tông và trục dầm

Hãy đọc công thức đó như một phát biểu về hình học. Một vết nứt xiên góc $\theta$ cắt qua một đoạn nằm ngang dài $z \cot\theta$, nên nó cắt qua $z\cot\theta / s$ lớp đai. Làm thanh chống thoải hơn thì cắt qua nhiều đai hơn, chịu được lực cắt lớn hơn với cùng khối lượng cốt thép. Toàn bộ ý tưởng nằm ở đó, và đó là lý do góc nghiêng có giá trị về mặt kinh tế.

Giới hạn nén vỡ mới là thứ chặn lại

Nếu làm thoải thanh chống mà không mất gì thì ai cũng sẽ chọn góc thoải nhất được phép. Nhưng có mất, bởi chính việc làm thoải đó làm tăng lực trong thanh chống bê tông:

$$V_{Rd,max} = \frac{\alpha_{cw} \, b_w \, z \, \nu_1 \, f_{cd}}{\cot\theta + \tan\theta}$$

trong đó:

• $\alpha_{cw}$ - hệ số kể đến trạng thái ứng suất trong cánh chịu nén, bằng 1,0 với cấu kiện không ứng suất trước

• $\nu_1$ - hệ số chiết giảm cường độ bê tông đã nứt do cắt, $0.6(1 - f_{ck}/250)$

• $f_{cd}$ - cường độ chịu nén tính toán, $\alpha_{cc} f_{ck}/\gamma_c$

Mẫu số $\cot\theta + \tan\theta$ là mấu chốt. Nó nhỏ nhất tại $\theta = 45°$, khi đó bằng 2, và tăng lên khi thanh chống thoải dần: tại $\cot\theta = 2.5$ nó bằng 2,9. Vậy khả năng chống nén vỡ lớn nhất ở 45 độ và nhỏ nhất ở góc thoải nhất, trong khi khả năng của cốt đai diễn biến hoàn toàn ngược lại. Hai đường cong cắt nhau, và thiết kế nằm ở nơi tiết diện cho phép.

EC2 giới hạn lựa chọn trong khoảng:

$$1.0 \le \cot\theta \le 2.5$$

tức là $45° \ge \theta \ge 21.8°$. Cận trên của $\cot\theta$ không hẳn là một giới hạn vật lý mà là giới hạn mức phân phối lại nội lực mà tiêu chuẩn chấp nhận tin tưởng: ở góc rất thoải, bề rộng vết nứt và yêu cầu biến dạng đặt lên cốt đai vượt quá phạm vi giả thiết của mô hình.

Trình tự thiết kế thực dụng suy ra trực tiếp từ đó. Thử $\cot\theta = 2.5$ trước, vì nó cho khối lượng cốt đai nhỏ nhất. Kiểm tra $V_{Rd,max}$ ở góc đó. Nếu đạt thì xong và đó là phương án rẻ nhất. Nếu không đạt thì dựng thanh chống đứng hơn cho tới khi $V_{Rd,max} = V_{Ed}$, rồi tính cốt đai theo góc đứng hơn đó.

Cái giá mà thanh cánh chịu kéo phải trả

Thanh xiên của giàn đẩy theo cả phương ngang lẫn phương đứng, và thành phần nằm ngang đó phải được cân bằng bởi thanh cánh chịu kéo. Vì vậy lực cắt làm tăng lực trong cốt thép dọc:

$$\Delta F_{td} = 0.5 \, V_{Ed} (\cot\theta - \cot\alpha)$$

trong đó:

• $\Delta F_{td}$ - lực kéo bổ sung trong cốt thép dọc (kN)

• $\alpha$ - góc nghiêng của cốt đai so với trục dầm, bằng 90 độ với đai thẳng đứng nên $\cot\alpha = 0$

Tại $\cot\theta = 2.5$ giá trị này bằng $1.25 V_{Ed}$, không hề nhỏ. Đó là lý do có quy tắc dịch chuyển biểu đồ trong §9.2.1.3 và là lý do cốt thép lớp dưới phải chạy vào gối và được neo đầy đủ, thay vì cắt tại vị trí mà biểu đồ mô men uốn cho phép. Một dầm đạt về uốn và đạt về cắt vẫn có thể bị phá hoại vì cốt thép dưới bị cắt như thể lực cắt không tồn tại.

Các giới hạn cấu tạo có quyền phủ quyết kết quả tính

Hàm lượng tối thiểu tồn tại để khi vết nứt xiên hình thành, cốt đai đủ sức gánh phần mà bê tông chưa nứt đang gánh, thay vì đứt và biến một vết nứt thành một sự phá hoại. Đó là yêu cầu về độ dẻo, không phải về cường độ.

Ví dụ tính toán

Tiết diện: $b_w = 300$ mm, $h = 600$ mm, $d = 550$ mm. Vật liệu: C30/37, cốt đai B500, $\gamma_c = 1.5$, $\gamma_s = 1.15$, nên $f_{cd} = 20$ MPa và $f_{ywd} = 434.8$ MPa. Cốt dọc chịu kéo: 3 thanh D25, $A_{sl} = 1473$ mm². Lực cắt tính toán: $V_{Ed} = 350$ kN.

Bước 1, khả năng chịu cắt của riêng bê tông:

$$k = 1 + \sqrt{200/550} = 1.603 \le 2.0$$

$$\rho_l = 1473/(300 \times 550) = 0.00893 \le 0.02$$

$$V_{Rd,c} = 0.12 \times 1.603 \times (100 \times 0.00893 \times 30)^{1/3} \times 300 \times 550 = 95.0\ \text{kN}$$

Giá trị sàn cho $v_{min} = 0.035 \times 1.603^{3/2} \times \sqrt{30} = 0.389$ MPa, tức $64.2$ kN, không quyết định. Với $V_{Ed} = 350$ kN so với $V_{Rd,c} = 95.0$ kN, cần tính cốt đai và phần đóng góp của bê tông bị bỏ đi.

Bước 2, thử thanh chống thoải nhất, $\cot\theta = 2.5$:

$$\nu_1 = 0.6(1 - 30/250) = 0.528$$

$$z = 0.9 \times 550 = 495\ \text{mm}$$

$$V_{Rd,max} = \frac{1.0 \times 300 \times 495 \times 0.528 \times 20}{2.5 + 0.4} = 540.7\ \text{kN}$$

$540.7 > 350$ kN, nên tiết diện còn xa giới hạn nén vỡ và góc thoải nhất là dùng được. Chọn góc đó.

Bước 3, tính cốt đai:

$$\frac{A_{sw}}{s} \ge \frac{V_{Ed}}{z \, f_{ywd} \cot\theta} = \frac{350 \times 10^3}{495 \times 434.8 \times 2.5} = 0.651\ \mathrm{mm^2/mm}$$

Đai hai nhánh D10 cho $A_{sw} = 157$ mm², nên $s \le 157/0.651 = 241$ mm. Chọn đai D10 khoảng cách 225 mm.

Bước 4, kiểm tra lại phương án đã chọn:

$$V_{Rd,s} = \frac{157}{225} \times 495 \times 434.8 \times 2.5 = 375.6\ \text{kN}$$

$$\rho_{w,min} = 0.08\sqrt{30}/500 = 0.000876 \rightarrow (A_{sw}/s)_{min} = 0.263\ \mathrm{mm^2/mm}$$

$$s_{l,max} = 0.75 \times 550 = 412.5\ \text{mm}$$

Kết quả: $V_{Ed} = 350$ kN so với $V_{Rd,s} = 375.6$ kN, hệ số sử dụng 0,93, trong khi giới hạn nén vỡ 540,7 kN còn cách xa. Bố trí $A_{sw}/s = 0.698\ \mathrm{mm^2/mm}$ so với tối thiểu 0,263, và khoảng cách 225 mm so với tối đa 412,5 mm. Tiết diện đạt cả bốn điều kiện. Lưu ý lực bổ sung mà điều này tạo ra: $\Delta F_{td} = 0.5 \times 350 \times 2.5 = 437.5$ kN, mà cốt thép dưới và mối neo của nó phải chịu.

Nếu dầm hẹp hơn, chẳng hạn $b_w = 200$ mm, thì $V_{Rd,max}$ tại $\cot\theta = 2.5$ giảm còn 360,5 kN. Vẫn lớn hơn 350 kN, nhưng khoảng dự trữ mỏng tới mức chỉ cần tải tăng chút ít là buộc phải dựng thanh chống đứng hơn và tốn thêm khoảng một phần ba khối lượng cốt đai. Ngưỡng dốc đó đáng biết trước khi chốt tải trọng.

Những điểm chính

• Hai dạng phá hoại được kiểm tra riêng và cùng phụ thuộc vào một góc thanh chống, nhưng theo hai chiều ngược nhau.

• Khi đã cần cốt đai thì bỏ $V_{Rd,c}$. Giàn ảo gánh toàn bộ lực cắt.

• Bắt đầu từ $\cot\theta = 2.5$ để có cốt đai nhẹ nhất, chỉ dựng đứng hơn khi kiểm tra nén vỡ không đạt.

• $V_{Rd,max}$ do bề rộng sườn dầm quyết định. Sườn hẹp, chứ không phải đai yếu, mới là thứ buộc phải dựng thanh chống đứng hơn.

• Làm thoải thanh chống cộng thêm $1.25 V_{Ed}$ vào thanh cánh chịu kéo. Phải neo cốt thép dưới cho lực đó.

• Hệ số kích thước $k$ khiến dầm cao nhận được ít khả năng chịu cắt từ bê tông hơn, đó là vật lý chứ không phải sự thận trọng thừa.

#eurocode #ec2 #betongcotthep #chiucat #thietkedam